Please use this identifier to cite or link to this item: http://elib.psu.by:8080/handle/123456789/23969
Title: Теорема обратная к теореме Гамильтона
Other Titles: Inverse theorem to Hamilton's theorem
Authors: Пастухов, Ю. Ф.
Пастухов, Д. Ф.
Keywords: Функция Гамильтона, вариационная задача, расслоённое пространство скоростей, уравнения Эйлера-Лагранжа, гладкие многообразия, тензор обобщенного импульса, невырожденный гессиан. :Hamilton function, variational problem, layered velocity space, Euler-Lagrange equations, smooth manifolds, generalized momentum tensor, non-degenerate hessian.
Issue Date: 1-Sep-2019
Publisher: Полоцкий государственный университет
Citation: ПГУ
Abstract: В работе рассматриваются свойства функций Гамильтона и Лагранжа в координатно - импульсном пространстве. Основным полученным результатом для системы ОДУ 1-ого порядка Гамильтона является утверждение : решения системы 2mn обыкновенных дифференциальных уравнений Гамильтона первого порядка являются решениями системы соответствующей системы m дифференциальных уравнений порядка n Эйлера-Лагранжа ,двойственной к функции Гамильтона и соответствующего невырожденного преобразования переменных. Получены формулы, связывающие частные производные в координатно-импульсном пространстве q-p для функций Лагранжа и Гамильтона по одним и тем же переменным. Получены формулы для частных производных для двойственной к функции Гамильтона функции Лагранжа по координатным переменным в координатно-импульсном пространстве. :The paper considers the properties of the Hamilton and Lagrange functions in the coordinate - impulse space. The main result obtained for the first-order ODE system Hamilton's statement is: solving a 2mn system of ordinary differential equations first-order Hamilton are solutions of the system of the corresponding system m differential equations of order n Euler-Lagrange, dual to the Hamilton function and corresponding non-degenerate transformation of variables. formulas are obtained that relate the partial derivatives in the coordinate-momentum space q-p for the Lagrange and Hamilton functions in the same variables. Formulas for quotients are obtained derivatives of the Lagrange function dual to the Hamilton function with respect to coordinate variables in coordinate-impulse space
Description: Гамильтон в 1835 году получил новую форму уравнений движения механических систем канонические уравнения Гамильтона.. Полученная система канонических уравнений содержит вдвое больше дифференциальных уравнений, чем у Лагранжа, но зато все они первого порядка, (у Лагранжа — второго). Вариационное исчисление является одним из старейших и богатых содержанием и приложениями разделов математического анализа. Вариационные задачи (например, изопериметрические) рассматривались и в древности, но исследовались геометрическими методами. Поэтому началом зарождения вариационного исчисления можно считать работу Ферма 1662 г., в которой аналитическими методами исследована задача о распространении света из одной оптической среды в другую и о преломлении света на границе двух сред. Далее аналогичные (но более общие) вариационные задачи исследовались Ньютоном (задача о наименьшей поверхности вращения - в 1685 г.), Д. Бернулли (задача о брахистохроне) и др. В 1696 г. И. Бернулли сформулировал и опубликовал математическую проблему с предложением для математиков своего времени заняться ее решением. В задаче о брахистохроне требовалось найти форму гладкой кривой, соединяющей две точки так, чтобы материальная точка, двигаясь по ней без трения под действием силы тяжести, прошла участок между этими точками за минимальное время. Задача была решена крупнейшими учеными того времени – Я. Бернулли, Г. Лейбницем, Г. Лопиталем и И. Ньютоном. Свои подходы к решению этой задачи предложили Л. Эйлер и Ж. Лагранж, что привело к рождению вариационного исчисления. Эти решения наметили многие направления будущей общей теории. И. Бернулли исходил из оптико-механических аналогий, Я. Бернулли применил принцип Гюйгенса, Г. Лейбниц решил задачу, заменяя кривую ломаными, заложив тем самым основу прямым методам в вариационном исчислении. Настоящими творцами общей теории вариационного исчисления (которые дали название этой науке) являются Л. Эйлер (уравнения Эйлера) и Ж. Лагранж (метод вариаций). Далее следует А. Лежандр (исследование второй вариации – необходимое условие Лежандра), У. Гамильтон и Б. Якоби (понятие сопряженной точки, необходимое условие Якоби, теория Гамильтона – Якоби), А. Клёбш и Ю. Майер (задачи с функционалами более общей природы, необходимое условие Клёбша, поля экстремалей Майера), Вейерштрасс (задачи в параметрической форме, достаточные условия сильного экстремума). Работы Майера конца XIX в. послужили основой для углубленного исследования вариационных задач Лагранжа и Майера, доказательства правила множителей для них и др. В начале XX в. Д. Гильберт ввел свой известный инвариантный интеграл для доказательства достаточных условий экстремума, А. Кнезер исследовал задачи с подвижными концами, получил геометрическое условие Якоби (при помощи огибающей семейства экстремалей). Представленная работа является продолжением работ авторов [9, 10,13,16,17,18,19,20,21,22].
URI: http://elib.psu.by:8080/handle/123456789/23969
Appears in Collections:Моделирование систем (1-40 01 01) 3к5с

Files in This Item:
There are no files associated with this item.


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.