DSpace Collection:https://elib.psu.by/handle/123456789/160962024-03-28T13:11:43Z2024-03-28T13:11:43ZО РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ С ЧЕТВЕРТЫМ ПОРЯДКОМ ПОГРЕШНОСТИ ЗА КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАЦИЙВолосова, Н. К.Волосов, К. А.Волосова, А. К.Пастухов, Д. Ф.Пастухов, Ю. Ф.https://elib.psu.by/handle/123456789/283502022-12-17T07:32:03Z2020-02-01T00:00:00ZTitle: О РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ С ЧЕТВЕРТЫМ ПОРЯДКОМ ПОГРЕШНОСТИ ЗА КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ
Authors: Волосова, Н. К.; Волосов, К. А.; Волосова, А. К.; Пастухов, Д. Ф.; Пастухов, Ю. Ф.
Abstract: Предложен алгоритм решения общей неоднородной краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона на прямоугольнике с четвертым порядком погрешности и с минимальным 9 точечным шаблоном на неоднородной равномерной сетке. Получен метод прогонки в матричной форме за конечное число арифметических действий, который устойчив даже для прямоугольников с отношением сторон более 10 с произвольной достаточно гладкой правой частью. Решение тестового примера сравнено с численным решением, подтверждающим четвертый порядок погрешности для формул полученного алгоритма.
Description: Известны разностные уравнения Пуассона на 9 точечном шаблоне с погрешностью четвертого порядка на равномерной сетке [1],[6],[7],[8],[9]. Впервые предложена разностная схема с 4 порядком погрешности для уравнения Пуассона на прямоугольнике на равномерной, но неоднородной сетке (с неравными шагами по осям x, y) и девятиточечным шаблоном. Алгоритм прогонки в матричной форме решения уравнения Пуассона на прямоугольнике может применяться в стеганографии [1],[2],[3],[4],[5],[6],в задачах математической физики с оператором Лапласа[7],[8],[9],[11],[12], в уравнениях гидродинамики[17].2020-02-01T00:00:00ZВычисление производных дробного порядка с высокой степенью точностиВолосова, Н. К.Волосов, К. А.Волосова, А. К.Пастухов, Д. Ф.Пастухов, Ю. Ф.https://elib.psu.by/handle/123456789/253352024-02-13T11:49:05Z2020-08-02T00:00:00ZTitle: Вычисление производных дробного порядка с высокой степенью точности
Authors: Волосова, Н. К.; Волосов, К. А.; Волосова, А. К.; Пастухов, Д. Ф.; Пастухов, Ю. Ф.
Abstract: В работе рассмотрена задача вычисления производной дробного порядка с высокой степенью точности. Производная дробного порядка является композицией первой производной от функции под знаком интеграла и интегрирования ее с неотрицательной весовой функцией с переменным верхним пределом. Доказана лемма о порядке аппроксимации композиции двух функций. Показано, что ортогональный полином имеет только действительные положительные корни, принадлежащие области интегрирования, а также эквивалентность определения ортогонального полинома системе условий его ортогональности системе координатных функций. Получены алгоритмы вычисления производной дробного порядка с квадратурной формулой Гаусса на двух узлах (с относительной точностью 13 значащих цифр) и с квадратурной формулой Гаусса на трех узлах (с двойной относительной точностью 15-16 значащих цифр).
Description: Введение. Обобщением степенных рядов, в которых каждое слагаемое имеет целый показатель степени в математическом анализе, и рядов Лорана в теории функций комплексного переменного стали ряды Адамара (оператор Адамара) и ряды Фробениуса в математической физике с дробными показателями для каждого слагаемого. Возможно обобщение производной целого порядка до производной дробного порядка (производные Римана-Лиувилля и производные Капуто-Герасимова). Решения дифференциальных уравнений дробного порядка естественно записывать через ряды Адамара или Фробениуса. Дробные производные появляются в новых физико-технических и химических задачах, возникающих в практической деятельности исследователей. Так, в монографии[4] Нахушев А.М. описал, что поток газа Трикоми на звуковой линии прямо пропорционален дробной производной с порядком 2/3 от функции тока. В работе[5] А.Н. Корчагиной рассмотрено уравнение диффузии, в котором временная и пространственная производные имеют дробный порядок 0<γ<2 и 1<α< 2. Если 0<γ<1, наблюдается субдиффузия, γ=1 – обычная классическая диффузия, 1<γ<2 – наблюдается супердиффузия, если γ=2 имеется классическое волновое уравнение. При γ=α=1 уравнение диффузии переходит в уравнение переноса. В работе[3] рассмотрено уравнение Пуассона дробного порядка. В связи с этим представляют интерес асимптотические свойства для обыкновенных дифференциальных уравнений дробного порядка[8-13], нелинейные и квазилинейные уравнения дробного порядка[15-19], использование уравнений эллиптического и гиперболического типов с частными производными дробного порядка[20- 29]. Дробным производным посвящены десятки статей и монографий, особенно теоретических работ. В данной работе получены алгоритмы точного вычисления дробных производных с использованием квадратурных формул Гаусса на двух узлах с предельной точностью 13 верных знаков и квадратур Гаусса на трех узлах с предельной двойной точностью(15-16 верных значащих цифр).2020-08-02T00:00:00ZАппроксимация двойных и тройных интегралов в математической физикеПастухов, Д. Ф.Пастухов, Ю. Ф.https://elib.psu.by/handle/123456789/239972024-02-13T11:49:05Z2016-01-01T00:00:00ZTitle: Аппроксимация двойных и тройных интегралов в математической физике
Authors: Пастухов, Д. Ф.; Пастухов, Ю. Ф.
Abstract: Аннотация: Получены формулы и алгоритмы для составных интегральных квадратур с равномерным шагом 7-го,11-го,15-го алгебраического порядка погрешности и с 8,12,16 порядком погрешности соответственно во внутренних задачах математической физики. Найдены аналоги формул для двойных на прямоугольнике и тройных в параллелепипеде интегралов с сохранением такого же порядка погрешности, что и в одномерном случае. Построены линейные отображения обобщённых координат с кольца (круга) на прямоугольник, с шарового слоя (шара) на параллелепипед. Найдены интегральные квадратуры в полярной и в сферической системах координат с сохранением алгебраического порядка точности, что проверено численно. Доказана лемма, указывающая минимальное число узлов достаточное для вычисления интеграла с двойной точностью. Приведены соответствующие алгоритмы. : Abstract: Formulas and algorithms are obtained for composite integral quadratures with a uniform step of the 7th, 11th, 15th algebraic order of error and with 8,12,16 order of error, respectively, in internal problems of mathematical physics. analogues of formulas are found for doubles on a rectangle and triplets in a parallelepiped, while maintaining the same error order as in the one-dimensional case. Linear maps of generalized coordinates are constructed from a ring (circle) to a rectangle, from a spherical layer (ball) to a box. found integral quadratures in polar and in spherical coordinate systems with the preservation of the algebraic order of accuracy, which is verified numerically. A lemma is proved indicating the minimum number of nodes sufficient to calculate the double-precision integral. Corresponding algorithms are given .
Description: В задачах математической физики обычно используют области: прямоугольник (параллелепипед), круг (шар). Например, во внутренней задаче Дирихле для уравнения Лапласа в круге, во внутренней задаче Дирихле для уравнения Лапласа в шаре [1,2]. В подобных задачах решение записывается в виде суммы ряда по собственным функциям выбранной области и уравнения в частных производных. Коэффициенты разложения ряда находят через двойные интегралы (в прямоугольнике, в круге, кольце) и тройные интегралы (в параллелепипеде, шаре, шаровом слое). В программе коэффициенты разложения вычисляют по циклу, и их число может достигать несколько тысяч. Что в свою очередь требует высокой точности расчёта двойных и тройных интегралов в задачах математической физики. Как известно, среди интегральных квадратурных формул при заданном числе узлов аппроксимации на отрезке наибольший алгебраический порядок точности имеют квадратурные формулы Гаусса [3,стр.44]. Для поиска узлов нужно построить ортогональный на отрезке [a,b] многочлен степени n с весовой функцией p(x)>0, x :[a,b] (у многочлена все n корней расположены на отрезке [a,b]). Согласно теореме Галуа произвольные многочлены степени больше четвёртой имеют корни, для которых невозможно указать замкнутую формулу для решений, т.е. формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени. По теореме Гаусса[3,стр.45] ортогональный многочлен степени n имеет квадратурную формулу Гаусса точную для всех многочленов степени не выше 2n - 1 (алгебраический порядок точности). Таким образом, интегральная формула Гаусса с узлами и весовыми коэффициентами, записанными через радикалы или рациональные дроби, может быть точна для всех многочленов степени не выше 2n - 1= 2*4 - 1= 7 .Следовательно, корни ортогональных многочленов, равные узлам квадратурной формулы Гаусса (с числом больше четырёх) необходимо искать с двойной точность[6], например, с помощью формулы касательных Ньютона, что потребует не менее 250 итерации и более 1000 флопов[4]. В работе построены интегральные квадратурные формулы с равномерным шагом, рациональными узлами весовыми коэффициентами, т.е. с двойной точностью. Найденные квадратурные формулы имеют алгебраический порядок точности соответственно n =7,11,15 . Полученные интегральные квадратурные формулы в одномерном случае могут быть перенесены на двойные и тройные интегралы с сохранением алгебраического порядка точности. В работе построено линейное отображение обобщённых координат с прямоугольника (параллелепипеда) на круг, кольцо, (шар, сферический слой), а квадратурные интегральные формулы в указанных областях имеют тот же алгебраический порядок точности, что и на отрезке. Немецкая группа математиков из университета города (Paderbom) создала пакет программ MuPad Pro 2.5.2, в котором интегралы вычисляются всего с 10 значащими цифрами, т.е. с точностью меньшей, чем достигнутая в данной работе. :In problems of mathematical physics usually use areas: a rectangle (parallelepiped), a circle (ball). For example, in the inner Dirichlet problem for the Laplace equation in a circle, in the inner Dirichlet problem for the Laplace equation in a ball [1,2]. In such problems, the solution is written as the sum of a series of eigenfunctions of the selected domain and a partial differential equation. The coefficients of the series expansion are found through double integrals (in a rectangle, a circle, a ring) and triple integrals (in a parallelepiped, a ball, a ball layer). In the program, the expansion coefficients are calculated on a cycle, and their number can reach several thousand. This, in turn, requires high accuracy in calculating double and triple integrals in mathematical physics problems. As is known, among integral quadrature formulas for a given number of approximation nodes on a segment, the highest algebraic order of accuracy is given by Gauss quadrature formulas [3, p. 44]. To search for nodes you need to build an orthogonal on2016-01-01T00:00:00ZМодифицированное разностное уравнение К. Н. Волкова для уравнения Пуассона на прямоугольнике с четвёртым порядком погрешностиВолосова, Н. К.Волосов, К. А.Волосова, А. К.Пастухов, Д. Ф.Пастухов, Ю. Ф.https://elib.psu.by/handle/123456789/237782024-02-13T11:49:06Z2019-01-01T00:00:00ZTitle: Модифицированное разностное уравнение К. Н. Волкова для уравнения Пуассона на прямоугольнике с четвёртым порядком погрешности
Authors: Волосова, Н. К.; Волосов, К. А.; Волосова, А. К.; Пастухов, Д. Ф.; Пастухов, Ю. Ф.
Abstract: Предложен алгоритм решения общей неоднородной краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона на прямоугольнике с четвертым порядком погрешности и с минимальным 9 точечным шаблоном на неоднородной равномерной сетке. Для устойчивости формулы простой итерации использован принцип сжатых отображений. Решение тестового примера сравнено с численным решением, подтверждающим четвертый порядок погрешности для формул полученного алгоритма. Приведена программа.
Description: Известно разностное уравнение Пуассона на 9 точечном шаблоне с погрешностью четвертого порядка на равномерной сетке К.Н. Волкова [1]. В данной работе впервые предложена разностная схема с 4 порядком погрешности для уравнения Пуассона на прямоугольнике на равномерной, но неоднородной сетке (с неравными шагами по осям x,y) с минимальным симметричным шаблоном (9 узлов). Полученный алгоритм численного решения уравнения Пуассона на прямоугольнике может применяться в кристаллографии, стеганографии[7,10],в задачах математической физики, например, в волновом уравнении[8,9].2019-01-01T00:00:00Z