https://elib.psu.by/handle/123456789/3917 2026-03-09T01:05:14Z https://elib.psu.by/handle/123456789/24491 Title: Модифицированное разностное уравнение К. Н. Волкова для уравнения Пуассона на прямоугольнике с четвертым порядком погрешности Authors: Волосова, Н. К.; Волосов, К. А.; Волосова, А. К.; Пастухов, Д. Ф.; Пастухов, Ю. Ф. Abstract: получены формулы прогонки системы линейных уравнений с краевым условием Дирихле. Доказаны Description: Введение. Известно разностное уравнение Пуассона на 9 точечном шаблоне с погрешностью четвертого порядка на равномерной сетке К.Н. Волкова [1]. В данной работе впервые предложена разностная схема с 4 порядком погрешности для уравнения Пуассона на прямоугольнике на равномерной, но неоднородной сетке (с неравными шагами по осям x,y) с минимальным симметричным шаблоном (9 узлов). Полученный алгоритм численного решения уравнения Пуассона на прямоугольнике может применяться в кристаллографии, стеганографии[7,10],в задачах математической физики с трехмерным оператором Лапласа, например, в волновом уравнении[8,9] 2019-01-01T00:00:00Z https://elib.psu.by/handle/123456789/24428 Title: ОБ ИНТЕГРАЛАХ ОБОБЩЕННОЙ ЭНЕРГИИ НА ЭКСТРЕМАЛЯХ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА Authors: Пастухов, Ю. Ф.; Пастухов, Д. Ф. Abstract: Аннотация: В работе рассматриваются свойства функций Гамильтона и Лагранжа в координатно - импульсном пространстве. Основным полученным результатом является свойство сохранения обобщенной энергии ранга n на экстремалях системы уравнений Эйлера-Лагранжа порядка n.Это свойство являетсядостаточным, но не необходимым условием сохранения обобщенной энергии ранга n. Description: Гамильтон в 1835 году получил новую форму уравнений движения механических систем канонические уравнения Гамильтона.. Полученная система канонических уравнений содержит вдвое больше дифференциальных уравнений, чем у Лагранжа, но зато все они первого порядка, (у Лагранжа - второго).. Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачи о геодезических на трехосном эллипсоиде). Еще большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических системах (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т.п. Подход Гамильтона оказался высоко эффективным во многих математических моделях физики. Первоначально вариационный принцип Гамильтона был сформулирован для задач механики, но при некоторых естественных предположениях из него выводятся уравнения Максвелла электромагнитного поля. С появлением теории относительности оказалось, что этот принцип строго выполняется и в релятивистской динамике. Его эвристическая сила существенно помогла разработке квантовой механики, а при создании общей теории относительности Давид Гильберт успешно применил гамильтонов принцип для вывода уравнений гравитационного поля (1915 год).Из сказанного следует, что принцип наименьшего действия Гамильтона(и естественным образом связанная с ним система канонических уравнений) занимает место среди коренных, базовых законов природы — наряду с законом сохранения энергии и законами термодинамики. Представленная работа является продолжением работ авторов [9,10,13,16,17,18,19,20,21,22,23]. 2020-02-01T00:00:00Z https://elib.psu.by/handle/123456789/24421 Title: ОБ ИНТЕГРАЛАХ ОБОБЩЕННОЙ ЭНЕРГИИ НА ЭКСТРЕМАЛЯХ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА-ЛАГРАНЖА Authors: Пастухов, Ю. Ф.; Пастухов, Д. Ф. Abstract: Аннотация: В работе рассматриваются свойства функций Гамильтона и Лагранжа в координатно - импульсном пространстве. Основным полученным результатом является свойство сохранения обобщенной энергии ранга n на экстремалях системы уравнений Эйлера-Лагранжа порядка n.Это свойство является достаточным, но не необходимым условием сохранения обобщенной энергии ранга n. :Abstract: The paper considers the properties of the Hamilton and Lagrange functions in coordinate - impulse space. The main result obtained is the generalized conservation property. energy of rank n on the extremals of the Euler-Lagrange system of equations of order n. This property is sufficient, but not necessary condition for the conservation of generalized energy of rank n. Description: Гамильтон в 1835 году получил новую форму уравнений движения механических систем - канонические уравнения Гамильтона. Полученная система канонических уравнений содержит вдвое больше дифференциальных уравнений, чем у Лагранжа, но зато все они первого порядка, (у Лагранжа - второго). Гамильтонова точка зрения позволяет исследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению иными средствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами и задачи о геодезических на трехосном эллипсоиде). Еще большее значение гамильтонова точка зрения имеет для приближенных методов теории возмущений (небесная механика), для понимания общего характера движения в сложных механических системах (эргодическая теория, статистическая механика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика, квантовая механика и т.п. Подход Гамильтона оказался высоко эффективным во многих математических моделях физики. Первоначально вариационный принцип Гамильтона был сформулирован для задач механики, но при некоторых естественных предположениях из него выводятся уравнения Максвелла электромагнитного поля. С появлением теории относительности оказалось, что этот принцип строго выполняется и в релятивистской динамике. Его эвристическая сила существенно помогла разработке квантовой механики, а при создании общей теории относительности Давид Гильберт успешно применил гамильтонов принцип для вывода уравнений гравитационного поля (1915 год). Из сказанного следует, что принцип наименьшего действия Гамильтона(и естественным образом связанная с ним система канонических уравнений) занимает место среди коренных, базовых законов природы — наряду с законом сохранения энергии и законами термодинамики. Представленная работа является продолжением работ авторов [9, 10,13,16,17,18,19,20,21,22,23]. 2020-02-01T00:00:00Z https://elib.psu.by/handle/123456789/24395 Title: О КОНЕЧНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ ДИРИХЛЕ. Authors: Пастухов, Д. Ф.; Пастухов, Ю. Ф.; Волосова, Н. К.; Волосов, К. А.; Волосова, А. К. Abstract: Предложен алгоритм прогонки в матричной форме с шестым порядком погрешности для решения уравнения Пуассона на прямоугольнике за конечное число арифметических операций. Аналитическим примером и программой, использующей данный алгоритм, подтвержден шестой порядок погрешности. В теореме 1 доказана монотонность матриц с диагональным преобладанием, у которых элементы главной диагонали отрицательны (положительны), а недиагональные положительны (отрицательны). В теореме 2 получена верхняя оценка бесконечной нормы обратной к монотонной матрице. В теореме 3 получены достаточные условия корректности предложенного алгоритма. Показано что быстродействие данного алгоритма в десятки раз превышает быстродействие алгоритма для решения уравнения Пуассона на прямоугольнике методом простой итерации с той же формулой аппроксимации шестого порядка погрешности и относительной точностью вычислений 10^-12 . Description: Введение. Матрицы и матричные уравнения специального типа применяются во многих разделах прикладной математики. В квантовой механике динамика частиц со спином определяется матрицами кватернионов (полукватернионов)[1,2]. Для решения уравнения Пуассона на прямоугольнике (параллелепипеде) используется метод прогонки[3,4,5,6,10,12,13,19]. Алгебраический метод прогонки, совместно с формулой простой итерации[5] является приближенным методом, так как число итераций не ограничено, но имея формулу аппроксимации уравнения Пуассона с шестым порядком погрешности можно значительно снизить погрешность и время вычислений[5]. В данной работе рассмотрен метод прогонки в матричной форме для численного решения уравнения Пуассона за конечное число арифметических операций. Идея работы частично основана на идее статьи[10], а также модификации краевых столбцов и строк в матрице правой части уравнения Пуассона с шестым порядком аппроксимации[5]. Получены достаточные условия корректности предложенного алгоритма, теоремы 1,2,3. Метод можно использовать в прикладных задачах математической физики[15,16,17], а также в двумерных задачах гидродинамики, система уравнений которых содержит уравнение Пуассона от функции тока, где правая часть – функция вихря. 2020-02-11T00:00:00Z