DSpace Community: дисциплина учебного плана

Обобщение формулы Эйлера для непланарного графа : учебное пособие

2024-04-10T00:00:00Z

Title: Обобщение формулы Эйлера для непланарного графа : учебное пособие Authors: Волосова, Н. К.; Волосов, К. А.; Волосова, А. К.; Пастухов, Д. Ф.; Пастухов, Ю. Ф. Abstract: В работе впервые доказана теорема – обобщенная формула Леонарда Эйлера для произвольного непланарного графа, то есть графа с пересечением ребер. Введено определение степени точки пересечения для ребер графа по аналогии с определением со степенью вершины графа. Полученная формула найдет применение в теории графов и, возможно, войдет в курсы лекций по дискретной математике и теории графов. Для студентов физико-математических специальностей, студентов педагогических, технических университетов, преподавателей, инженеров, программистов использующих в своей практической деятельности теорию графов, комбинаторную геометрию, теорию алгоритмов. Полный текст работы доступен в Российской научной библиотеке под номером eLIBRARY ID: 65489856 EDN: JZUSRB Description: Идея написания данного учебного пособия появилась на практических занятиях со студентами по теории графов. В задачах по теории графов часто необходимо получить верхние и нижние оценки в виде равенств и неравенств между числом ребер графа, числом его вершин и числом граней графа. Однако формула Леонарда Эйлера не применима для непланарных графов, то есть для графов, у которых при расположении всех его вершин на плоскости некоторые ребра пересекаются между собой во внутренних точках, а не в вершинах графа. При этом понимается, что никакими изоморфными отображениями невозможно перевести данный граф с вершинами на плоскости в планарный граф. Поэтому авторы надеются, что новая обобщенная формула Эйлера поможет студентам использовать новые подходы для решения задач с любыми графами и, возможно, принесет пользу в задачах комбинаторной геометрии.

РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ПРЕДЕЛОВ И ВЫЧИТАНИЙ

2024-01-01T00:00:00Z

Title: РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНОЙ РАЦИОНАЛЬНОЙ ДРОБИ НА ПРОСТЕЙШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ПРЕДЕЛОВ И ВЫЧИТАНИЙ Authors: Волосова, Н. К.; Волосов, К. А.; Волосова, А. К.; Пастухов, Д. Ф.; Пастухов, Ю. Ф. Abstract: В работе рассмотрен метод последовательных пределов и вычитаний дробей для разложения правильной рациональной дроби на элементарные дроби. Допускаются кратные действительные корни или кратные неразложимые квадратичные трехчлены в знаменателе дроби. В среднем для отыскания одного коэффициента элементарной дроби необходим одни предельный переход и одно вычитание дробей. Метод ППВ прост на практике. Для студентов университетов, педагогических университетов, а также для студентов технических университетов, преподавателей, инженеров, студентов колледжей, программистов использующих в своей практической деятельности аналитические и численные методы интегрирования функций. Description: Данное учебное пособие посвящено методу интегрирования правильных рациональных дробей. Более того даже не методам интегрирования, а предварительной работе - представлении правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей. Алгоритм последовательных предельных переходов и вычитания дробей посвящен всего одной главе математического анализа – интегрированию функций представимых правильными рациональными дробями. Как известно, после замены переменных к интегрированию рациональной дроби можно свести некоторые функции с радикалами, тригонометрические выражения в виде дроби и так далее.Новый метод ППВ по сравнению с известным методом неопределенных коэффициентов для разложения на элементарные дроби обладает рядом преимуществ. Используя метод неопределенных коэффициентов для отыскания n коэффициентов нужно вычислить разложение в n различных точках и составить систему линейных алгебраических уравнений СЛАУ из n уравнений, точное решение которых достаточно сложно при n>10. Метод последовательных пределов и вычитания дробей позволяет вычислять в среднем по одному коэффициенту на один шаг алгоритма (одно вычитание дробей и один предельный переход). Совместно со свойствами симметрии правильной рациональной дроби (четности либо нечетности исходной дроби) алгоритм ППВ позволяет ускорять процесс нахождения неизвестных коэффициентов.Отметим, что алгоритм последовательных предельных переходов и вычитаний дробей охватывает любые возможные рациональные дроби. То есть, если знаменатель дроби содержит кратные простые корни или кратные квадратичные трехчлены неразложимые на простые множители или их комбинации. Комбинирование обоих методов, метода неопределенных коэффициентов и метода последовательных предельных переходов и вычитаний рациональных дробей принесет большую пользу, чем один метод неопределенных коэффициентов на практике. Несомненно, что метод последовательности вычисления пределов и вычитаний легко обобщить на любую другую функцию, не обязательно представимой в виде правильной рациональной дроби. Но при этом представимой в виде суммы элементарных функций. В пособии решено 6 примеров для всех указанных случаев знаменателя правильной рациональной дроби, выполнена проверка для каждого примера. В конце учебного пособия кратко сформулирован в корректной форме алгоритм ППВ.

ТЕНЗОР ПУАССОНА В РАССЛОЕНИИ СТРУЙ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

2022-09-01T00:00:00Z

Title: ТЕНЗОР ПУАССОНА В РАССЛОЕНИИ СТРУЙ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ Authors: Пастухов, Ю. Ф.; Пастухов, Д. Ф.; Карлов, М. И.; Волосова, Н. К.; Волосов, К. А.; Волосова, А. К.; Чернов, С. В. Abstract: В работе введено понятие многомерного обобщенного импульса ранга n. Исследован закон преобразования компонент импульсов нулевого порядка ранга n при замене координат в базе расслоения - они преобразуются как тензор типа (0,1) - ковектор. Description: The paper introduced the concept of the generalized pulse rank Studied the law of transformation of order component pulses rank at change of coordinates in the base of the bundle - they transform as a tensor of type (0,1) (covector).

О двух численных алгоритмах для решения конечномерной задачи Лагранжа на экстремум с ограничениями типа равенств

2022-07-01T00:00:00Z

Title: О двух численных алгоритмах для решения конечномерной задачи Лагранжа на экстремум с ограничениями типа равенств Authors: Волосова, Н. К.; Волосов, К. А.; Волосова, А. К.; Пастухов, Д. Ф.; Пастухов, Ю. Ф. Abstract: Предложены два численных алгоритма для решения конечномерной задачи Лагранжа на экстремум с ограничениями типа равенств. Первый алгоритм опирается на теорему о необходимых условиях экстремума. Второй алгоритм мы назвали последовательностью ортогонализации градиента экстремальной функции к пространству градиентов ограничений типа уравнений связи, заданных с нулевой правой частью. Материал учебного практикума содержит пять примеров с решениями, подбором нужного алгоритма и программы. Две программы написаны на языке FORTRAN с использованием библиотеки линейной алгебры msiml. Остальные программы написаны на языке C++. Для студентов университетов, педагогических, технических вузов, преподавателей, инженеров, программистов использующих в своей практической деятельности численные методы оптимизации. Description: Предлагаемое учебное пособие предназначено для практических занятий студентов по предметам Методы оптимизации и Математическое программирование. Конечномерная задача Лагранжа на условный экстремум представляет собой самостоятельный образовательный и научный интерес, поэтому авторы учебного пособия решили вынести эту небольшую часть предмета Методов оптимизации в отдельную брошюру. Речь идет о нахождении точек экстремума и экстремальных значений функции численно с двойной точностью (не менее 14-15 значащих цифр). В первой части доказана Теорема 1(необходимые условия локального экстремума с ограничениями типа равенств). Первый численный алгоритм основывается на результатах Теоремы 1, то есть о линейной зависимости градиента экстремальной функции и градиентов уравнений связей в точке экстремума. В учебном пособии аналитически решены пять примеров, составляющих задание для лабораторных работ, условия задач взяты из известных всем студентам задачников по математическому анализу Б.П. Демидовича, В.М. Тихомирова и М.И. Шабунина. Применение первого численного алгоритма сводится к решению замкнутой системы n нелинейных уравнений с n переменными. В случае если элементы диагональной матрицы Якоби, составленной из указанных градиентов в некоторой области в окрестности точки экстремума, обладают диагональным преобладанием, то применима Теорема 2, доказательство которой вынесено в приложение. Применимость Теоремы 2(алгоритм Зейделя-Ньютона) в первом вычислительном алгоритме для решения системы нелинейных уравнений значительно уже, чем ее решение матричным методом Ньютона. Однако в образовательном процессе желательно, чтобы студенты справлялись с лабораторной работой за два академических часа и сдавали ее. Поэтому первый алгоритм с использованием Теоремы 2 проще, экономичнее с точки зрения числа использованных элементарных операций, а главное его программный код можно реализовать на половине одной страницы, написанном на языке C++. Язык C++ наиболее понятен и распространен среди студентов. Алгоритм с учетом Теоремы 2 применен во втором примере. Матричный метод Ньютона является более общим, но требует многократного (несколько десятков итераций для достижения двойной точности) вычисления обратной матрицы к матрице Якоби, что затруднительно для написания кода на языке C++ на одной странице. Поэтому программы для двух примеров в учебном пособии для решения систем уравнений с матричным методом Ньютона написаны на языке FORTRAN с использованием библиотеки линейной алгебры msimsl с программным кодом в 1 страницу. Среда Visual Studio поддерживает несколько языков одновременно. Поэтому программу на FORTRAN могут запускать студенты, которые знают только язык C++ из Visual Studio. Здесь использованы версии C++ 6.0 и Compaq Visual Fortran версии 6.6 Входными данными в рассматриваемой задаче являются функция на экстремум и m < n уравнений связей, записанных в неявном виде с нулевой правой частью(n –размерность конечномерного евклидового пространства). Все функции гладкие, то есть непрерывно дифференцируемые в пространстве Rn. К входным данным также относятся градиент основной функции и градиенты левых частей уравнений связи, а также число итераций в численном алгоритме. Два примера используют второй численный алгоритм ортогонализации градиента функции на экстремум к пространству градиентов уравнений связи. Для достижения двойной точности рассмотрен модифицированный метод с учетом второй квадратичной формы, компенсирующий отклонение точки итерации от допустимого множества после алгоритма первой линейной формы. Также используется модификация геометрического роста шага итерации в окрестности нуля градиента. Двойная точность результата в модифицированном методе требует применения формул кривизны поверхности из курса дифференциальной геометрии.