Разложение де Рама и когомологии трехмерных однородных псевдоримановых многообразий

Abstract

Рассматриваются трехмерные однородные римановы (псевдоримановы) многообразия. Описывается разложение де Рама этих многообразий, а также их алгебры Ли когомологий. Когомологии позволяют ответить на вопрос, когда замкнутые формы на многообразии являются точными. Локальная классификация однородных пространств эквивалентна описанию эффективных пар алгебр Ли. Описаны все инвариантные симметрические невырожденные билинейные формы на таких однородных пространствах. Локально однородное риманово (псевдориманово) многообразие локально изометрично глобально однородному риманову (псевдориманову) пространству. Также изучена секционная кривизна римановых (псевдоримановых) однородных пространств. Ограничиваемся случаем нетривиальной стацио нарной подгруппы, поскольку все остальные псевдоримановы однородные пространства в этой размерности – только группы Ли с левоинвариантной метрикой. В работе использован алгебраический подход для описания многообразий, методы теории групп и алгебр Ли и однородных пространств.= In this paper we study three-dimensional homogeneous Riemannian (pseudo-Riemannian) manifolds. We describe de Rham decomposition and cohomology this manifolds. The cohomology allows us to answer the question of when closed forms on a manifold are exact. The local classification of homogeneous spaces is equivalent to the description of effective pairs of Lie algebras. We describe all invariant symmetric nondegenerate bilinear forms on those homogeneous spaces. A complete locally homogeneous Riemannian (pseudo-Riemannian) manifold is locally isometric to a globally homogeneous Riemannian (pseudo-Riemannian) space. Also we describe curvature Riemannian (pseudo-Riemannian) homogeneous spaces. We restrict ourselves to the case of a nontrivial stationary subgroup, all other pseudo-Riemannian homogeneous spaces in this dimension are just Lie groups with a left-invariant metric. We use the algebraic approach for description of manifolds, methods of the theory of Lie groups and Lie algebras and homogeneous spaces.