О достаточном условии глобальной скаляризуемости линейных управляемых систем с локально интегрируемыми коэффициентами

Abstract

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами x˙=A(t)x+B(t)u,x∈Rn,u∈Rm,t⩾0.(1) Управление в системе (1) строится в виде линейной обратной связи u=U(t)x с измеримой и ограниченной матричной функцией U(t), t⩾0. Для замкнутой системы x˙=(A(t)+B(t)U(t))x,x∈Rn,t⩾0,(2) введено понятие равномерной глобальной квазидостижимости, которое является ослаблением равномерной глобальной достижимости - свойства системы (2), позволяющего за счет выбора функции U(t), t⩾0, для матрицы Коши XU(t,s) этой системы обеспечить выполнение равенств XU((k+1)T,kT)=Hk при фиксированном T>0 и произвольных k∈N, detHk>0. Доказано, что из равномерной глобальной квазидостижимости системы (2) следует глобальная скаляризуемость этой системы, то есть существование для произвольной наперед заданной локально интегрируемой и интегрально ограниченной скалярной функции p=p(t), t⩾0, такой измеримой и ограниченной матричной функции U=U(t), t⩾0, при которой система (2) асимптотически эквивалентна системе скалярного типа z˙=p(t)z, z∈Rn, t⩾0.=We consider a linear time-varying control system with locally integrable and integrally bounded coefficients x˙=A(t)x+B(t)u,x∈Rn,u∈Rm,t⩾0.(1) We construct control of the system (1) as a linear feedback u=U(t)x with measurable and bounded function U(t), t⩾0. For the closed-loop system x˙=(A(t)+B(t)U(t))x,x∈Rn,t⩾0,(2) a definition of uniform global quasi-attainability is introduced. This notion is a weakening of the property of uniform global attainability. The last property means existence of matrix U(t), t⩾0, ensuring equalities XU((k+1)T,kT)=Hk for the state-transition matrix XU(t,s) of the system (2) with fixed T>0 and arbitrary k∈N, detHk>0. We prove that uniform global quasi-attainability implies global scalarizability. The last property means that for any given locally integrable and integrally bounded scalar function p=p(t), t⩾0, there exists a measurable and bounded function U=U(t), t⩾0, which ensures asymptotic equivalence of the system (2) and the system of scalar type z˙=p(t)z, z∈Rn, t⩾0.