О равномерной глобальной достижимости двумерных линейных систем с локально интегрируемыми коэффициентами

Abstract

Рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами. Управление в системе строится по принципу линейной обратной связи с измеримой и ограниченной матричной функцией. Для замкнутой системы исследуется вопрос об условиях ее равномерной глобальной достижимости. Наличие последнего свойства у системы означает существование такой матричной функции, которая обеспечивает для матрицы Коши этой системы выполнение равенств при фиксированном и произвольных Представленная задача решается в предположении равномерной полной управляемости системы соответствующей замкнутой системе т.е. при условии существования таких и что при любых начальном моменте времени и начальном состоянии системы (1) на отрезке найдется измеримое и ограниченное векторное управление переводящее вектор начального состояния этой системы в ноль на данном отрезке. Доказано, что в двумерном случае, т.е. при свойство равномерной полной управляемости системы является достаточным условием равномерной глобальной достижимости соответствующей системы. = We consider a linear time-varying control system with locally integrable and integrally bounded coefficients x˙=A(t)x+B(t)u, x∈Rn, u∈Rm, t⩾0.(1) We construct control of the system (1) as a linear feedback u=U(t)x with measurable and bounded function U(t), t⩾0. For the closed-loop system x˙=(A(t)+B(t)U(t)) x,x∈Rn,t⩾0,(2) we study a question about the conditions for its uniform global attainability. The last property of the system (2) means existence of a matrix U(t), t⩾0, that ensure equalities XU((k+1)T,kT)=Hk for the state-transition matrix XU(t,s) of the system (2) with fixed T>0 and arbitrary k∈N, detHk>0. The problem is solved under the assumption of uniform complete controllability of the system (1), corresponding to the closed-loop system (2), i.e. assuming the existence of such σ>0 and γ>0, that for any initial time t0⩾0 and initial condition x(t0) = x0∈Rn of the system (1) on the segment [t0, t0+σ] there exists a measurable and bounded vector control u=u(t), ∥u(t)∥⩽γ∥x0∥, t∈[t0,t0+σ], that transforms a vector of the initial state of the system into zero on that segment. It is proved that in two-dimensional case, i.e. when n=2, the property of uniform complete controllability of the system (1) is a sufficient condition of uniform global attainability of the corresponding system (2).