Автоподобия и автоизометрии одной четырехмерной алгебры Ли VI типа Бианки

Abstract

Рассматривается четырехмерная алгебра Ли G , являющаяся прямой суммой трехмерой алгебры Ли группы Гейзенберга и одномерной алгебры Ли. Предполагается, что эта алгебра Ли снабжена лоренцевым скалярным произведением сигнатуры (+,+,+,–). Рассматривается вопрос: в каком случае алгебра Ли G допускает однопараметрическую группу преобразований подобия, являющихся одновременно автоморфизмами алгебры Ли. Рассмотрено пять возможных случаев задания лоренцева скалярного произведения и в трех из них такая однопараметрическая группа существует. Выписаны формулы, по которым действует эта однопараметрическая группа преобразований, и матрица Грама канонического базиса. Доказано, что при любом возможном способе задания лоренцева скалярного произведения алгебра Ли G допускает однопараметрическую группу изометрий, являющихся автоморфизмами алгебры Ли.= We consider four-dimensional Lie algebra G , which is a direct sum of three-dimensional Lie algebra of Heisenberg group and one-dimensional Lie algebra. We suppose, that this algebra is supplied by Lorentzian scalar product of the signature (+,+,+,–). The following problem is considered: in which cases Lie algebra G admits one-parameter group of similarities, which are automorphisms of Lie algebra. Five possible cases of establishing Lorentzian scalar product are considered. In three cases such one-parameter group exists. Formulas describing action of this one-parameter group and the Gram matrix of the canonical basis are specified. Also it is proved, that in each case of establishing Lorentzian scalar product Lie algebra G admits oneparameter group of isometric transformations, which are automorphisms of Lie algebra.