О конечных методах решения уравнения Пуассона на прямоугольнике с краевым условием Дирихле

Abstract

Предложен алгоритм прогонки в матричной форме с шестым порядком погрешности для решения уравнения Пуассона на прямоугольнике за конечное число арифметических операций. Аналитическим примером и программой, использующей данный алгоритм, подтвержден шестой порядок погрешности. В теореме 1 доказана монотонность матриц с диагональным преобладанием, у которых элементы главной диагонали отрицательны (положительны), а недиагональные положительны (отрицательны). В теореме 2 получена верхняя оценка бесконечной нормы обратной к монотонной матрице. В теореме 3 получены достаточные условия корректности предложенного алгоритма. Показано, что быстродействие данного алгоритма в десятки раз выше быстродействия алгоритма решения уравнения Пуассона на прямоугольнике методом простой итерации с той же формулой аппроксимации с шестым порядком погрешности.= An algorithm for sweeping in matrix form with a sixth order of error for solving the Poisson equation on a rectangle in a finite number of arithmetic operations is proposed. An analytical example and a program using this algorithm confirmed the sixth order of error. Theorem 1 proves the monotonicity of matrices with diagonal dominance, for which the elements of the main diagonal are negative (positive), and the off-diagonal are positive (negative). in Theorem 2, an upper bound is obtained for the infinite norm inverse to a monotonic matrix. in Theorem 3, sufficient conditions for the correctness of the proposed algorithm are obtained. It is shown that the speed of this algorithm is ten times higher than the speed of the algorithm for solving the Poisson equation on a rectangle using the simple iteration method with the same approximation formula with sixth error order.