Критерий равномерной глобальной достижимости линейных систем

Abstract

В статье рассматривается линейная нестационарная управляемая система с локально интегрируемыми и интегрально ограниченными коэффициентами x˙=A(t)x+B(t)u,x∈Rn,u∈Rm,t⩾0.(1) Управление в системе (1) строится по принципу линейной обратной связи u=U(t)x с измеримой и ограниченной матричной функцией U(t), t⩾0. Для замкнутой системы x˙=(A(t)+B(t)U(t))x,x∈Rn,t⩾0,(2) устанавливается критерий ее равномерной глобальной достижимости. Это свойство означает существование такого T>0, что для всяких положительных чисел α и β найдется d=d(α,β)>0, обеспечивающее при всяком t0⩾0 и произвольной (n×n)-матрице H, ∥H∥⩽α, detH⩾β, возможность построения измеримого на [t0,t0+T] матричного управления U(⋅), для которого справедлива оценка supt∈[t0,t0+T]∥U(t)∥⩽d и равенство XU(t0+T,t0)=H, где XU - матрица Коши системы (2). Доказательство критерия основано на полученной в работе теореме о представлении всякой (n×n)-матрицы с положительным определителем в виде произведения девяти верхне- и нижнетреугольных матриц с положительными диагональными элементами и дополнительными условиями на норму и определитель этих матриц.