Please use this identifier to cite or link to this item: http://elib.psu.by:8080/handle/123456789/24394
Title: О КОНЕЧНЫХ МЕТОДАХ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ ДИРИХЛЕ
Other Titles: ON FINAL METHODS OF SOLVING THE POISSON EQUATION ON A RECTANGE WITH THE BOUNDARY CONDITION OF DIRICHLE
Authors: Пастухов, Д. Ф.
Пастухов, Ю. Ф.
Волосова, Н. К.
Волосов, К. А.
Волосова, А. К.
Keywords: Ключевые слова: метод прогонки в блочной форме, диагональные матрицы, монотонные матрицы, уравнения математической физики, численные методы, уравнение Пуассона. : Keywords: sweep method in block form, diagonal matrices, monotone matrices, equations of mathematical physics, numerical methods, Poisson equation.
Issue Date: 10-Feb-2020
Publisher: Полоцкий государственный университет, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (национальный исследовательский университет), Российский университет транспорта (МИИТ)
Citation: Пастухов Д. Ф., Пастухов Ю. Ф., Волосова Н. К., Волосов К. А., Волосова А. К. О конечных методах решения уравнения Пуассона на прямоугольнике с краевым условием Дирихле/Д. Ф. Пастухов, Ю. Ф. Пастухов, Н. К. Волосова, К. А. Волосов, А. К. Волосова//УДК 517.6. Численные методы математической физики, - ПГУ: 10.02.2020. - 19 С.
Abstract: Предложен алгоритм прогонки в матричной форме с шестым порядком погрешности для решения уравнения Пуассона на прямоугольнике за конечное число арифметических операций. Аналитическим примером и программой, использующей данный алгоритм, подтвержден шестой порядок погрешности. В теореме 1 доказана монотонность матриц с диагональным преобладанием, у которых элементы главной диагонали отрицательны (положительны), а недиагональные положительны (отрицательны). В теореме 2 получена верхняя оценка бесконечной нормы обратной к монотонной матрице. В теореме 3 получены достаточные условия корректности предложенного алгоритма. Показано что быстродействие данного алгоритма в десятки раз превышает быстродействие алгоритма для решения уравнения Пуассона на прямоугольнике методом простой итерации с той же формулой аппроксимации шестого порядкапогрешности и относительной точностью вычислений10^-12: An algorithm for sweeping in matrix form with a sixth order of error for solvingPoisson equations on a rectangle in a finite number of arithmetic operations. Analyticalan example and a program using this algorithm confirmed the sixth order of error. INTheorem 1 proves the monotonicity of diagonal-dominant matrices for which the elements of the principal diagonals are negative (positive), and off-diagonal are positive (negative). In Theorem 2an upper bound is obtained for the infinite norm inverse to a monotonic matrix. In Theorem 3, we obtainsufficient conditions for the correctness of the proposed algorithm. It is shown that the performance of this the algorithm is ten times faster than the algorithm for solving the Poisson equation byrectangle using a simple iteration method with the same sixth order approximation formulaerrors and relative accuracy of calculations10 ^ -12.
Description: Введение. Матрицы и матричные уравнения специального типа применяются во многих разделах прикладной математики. В квантовой механике динамика частиц со спином определяется матрицами кватернионов (полукватернионов)[1,2]. Для решения уравнения Пуассона на прямоугольнике(параллелепипеде) используется метод прогонки[3,4,5,6,10,12,13,19]. Алгебраический метод прогонки, совместно с формулой простой итерации[5] является приближенным методом, так как число итераций не ограничено, но имея формулу аппроксимации уравнения Пуассона с шестым порядком погрешности можно значительно снизить погрешность и время вычислений[5]. В данной работе рассмотрен метод прогонки в матричной форме для численного решения уравнения Пуассона за конечное число арифметических операций. Идея работы частично основана на идее статьи[10], а также модификации краевых столбцов и строк в матрице правой части уравнения Пуассона с шестым порядком аппроксимации[5]. Получены достаточные условия корректности предложенного алгоритма, теоремы 1,2,3. Метод можно использовать в прикладных задачах математической физики[15,16,17], а также в двумерных задачах гидродинамики, система уравнений которых содержит уравнение Пуассона от функции тока, где правая часть – функция вихря.: Introduction. Matrices and matrix equations of a special type are used in many sections.applied mathematics. In quantum mechanics, the dynamics of particles with a spin is determined by matrices quaternions (semi-quaternions) [1,2]. To solve the Poisson equation on a rectangle (parallelepiped) the sweep method is used [3,4,5,6,10,12,13,19]. Algebraic sweep method,together with the simple iteration formula [5] is an approximate method, since the number of iterations is notis limited, but having a formula for approximating the Poisson equation with the sixth order of error, you can significantly reduce the error and calculation time [5]. In this paper, the sweep method inmatrix form for numerically solving the Poisson equation in a finite number of arithmeticoperations. The idea of ​​the work is partially based on the idea of ​​the article [10], as well as the modification of boundary columns and rows in the matrix of the right-hand side of the Poisson equation with the sixth order of approximation [5]. Receivedsufficient conditions for the correctness of the proposed algorithm, Theorems 1,2,3. The method can be used in applied problems of mathematical physics [15,16,17], as well as in two-dimensional problems of hydrodynamics,whose system of equations contains the Poisson equation of the stream function, where the right-hand side is the function whirlwind
URI: http://elib.psu.by:8080/handle/123456789/24394
Appears in Collections:Численные методы в инженерных расчетах (1-40 01 01) 2к3с

Files in This Item:
File Description SizeFormat 
УДК517.6(О методе прогонки в блочной форме).pdf663.7 kBAdobe PDFThumbnail
View/Open


Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.