Аналог теоремы Хинчина для совместных приближений произвольной точки плоскости значениями целочисленного полинома

Abstract

Доказывается, что любую точку пространства R2 можно бесконечно часто с заданной точностью приближать значениями целочисленного полинома. Полученный в работе результат в случаях сходимости и расходимости ряда некоторой монотонно убывающей функции положительного аргумента является обобщением известной метрической теоремы Хинчина о приближении действительных чисел рациональными. При доказательстве теоремы в случае сходимости используется лемма, полученная В. И. Берником и Н.И. Калошей, а также метод, использующий принцип ящиков Дирихле. Предложенный метод доказательства в случае расходимости использует теорему Минковского о последовательных минимумах, с помощью которой на множестве П положительной плотности в R2 строятся n +1 линейно-независимых многочленов с большой производной на П.