Аппроксимация двойных и тройных интегралов в математической физике

Пастухов, Д. Ф.; Пастухов, Ю. Ф.

Please use this identifier to cite or link to this item: https://elib.psu.by/handle/123456789/23997

Full metadata record

DC Field	Value	Language
dc.contributor.author	Пастухов, Д. Ф.	-
dc.contributor.author	Пастухов, Ю. Ф.	-
dc.date.accessioned	2019-11-22T14:06:25Z	-
dc.date.available	2019-11-22T14:06:25Z	-
dc.date.issued	2016	-
dc.identifier.uri	https://elib.psu.by/handle/123456789/23997	-
dc.description	В задачах математической физики обычно используют области: прямоугольник (параллелепипед), круг (шар). Например, во внутренней задаче Дирихле для уравнения Лапласа в круге, во внутренней задаче Дирихле для уравнения Лапласа в шаре [1,2]. В подобных задачах решение записывается в виде суммы ряда по собственным функциям выбранной области и уравнения в частных производных. Коэффициенты разложения ряда находят через двойные интегралы (в прямоугольнике, в круге, кольце) и тройные интегралы (в параллелепипеде, шаре, шаровом слое). В программе коэффициенты разложения вычисляют по циклу, и их число может достигать несколько тысяч. Что в свою очередь требует высокой точности расчёта двойных и тройных интегралов в задачах математической физики. Как известно, среди интегральных квадратурных формул при заданном числе узлов аппроксимации на отрезке наибольший алгебраический порядок точности имеют квадратурные формулы Гаусса [3,стр.44]. Для поиска узлов нужно построить ортогональный на отрезке [a,b] многочлен степени n с весовой функцией p(x)>0, x :[a,b] (у многочлена все n корней расположены на отрезке [a,b]). Согласно теореме Галуа произвольные многочлены степени больше четвёртой имеют корни, для которых невозможно указать замкнутую формулу для решений, т.е. формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени. По теореме Гаусса[3,стр.45] ортогональный многочлен степени n имеет квадратурную формулу Гаусса точную для всех многочленов степени не выше 2n - 1 (алгебраический порядок точности). Таким образом, интегральная формула Гаусса с узлами и весовыми коэффициентами, записанными через радикалы или рациональные дроби, может быть точна для всех многочленов степени не выше 2n - 1= 2*4 - 1= 7 .Следовательно, корни ортогональных многочленов, равные узлам квадратурной формулы Гаусса (с числом больше четырёх) необходимо искать с двойной точность[6], например, с помощью формулы касательных Ньютона, что потребует не менее 250 итерации и более 1000 флопов[4]. В работе построены интегральные квадратурные формулы с равномерным шагом, рациональными узлами весовыми коэффициентами, т.е. с двойной точностью. Найденные квадратурные формулы имеют алгебраический порядок точности соответственно n =7,11,15 . Полученные интегральные квадратурные формулы в одномерном случае могут быть перенесены на двойные и тройные интегралы с сохранением алгебраического порядка точности. В работе построено линейное отображение обобщённых координат с прямоугольника (параллелепипеда) на круг, кольцо, (шар, сферический слой), а квадратурные интегральные формулы в указанных областях имеют тот же алгебраический порядок точности, что и на отрезке. Немецкая группа математиков из университета города (Paderbom) создала пакет программ MuPad Pro 2.5.2, в котором интегралы вычисляются всего с 10 значащими цифрами, т.е. с точностью меньшей, чем достигнутая в данной работе. :In problems of mathematical physics usually use areas: a rectangle (parallelepiped), a circle (ball). For example, in the inner Dirichlet problem for the Laplace equation in a circle, in the inner Dirichlet problem for the Laplace equation in a ball [1,2]. In such problems, the solution is written as the sum of a series of eigenfunctions of the selected domain and a partial differential equation. The coefficients of the series expansion are found through double integrals (in a rectangle, a circle, a ring) and triple integrals (in a parallelepiped, a ball, a ball layer). In the program, the expansion coefficients are calculated on a cycle, and their number can reach several thousand. This, in turn, requires high accuracy in calculating double and triple integrals in mathematical physics problems. As is known, among integral quadrature formulas for a given number of approximation nodes on a segment, the highest algebraic order of accuracy is given by Gauss quadrature formulas [3, p. 44]. To search for nodes you need to build an orthogonal on	-
dc.description.abstract	Аннотация: Получены формулы и алгоритмы для составных интегральных квадратур с равномерным шагом 7-го,11-го,15-го алгебраического порядка погрешности и с 8,12,16 порядком погрешности соответственно во внутренних задачах математической физики. Найдены аналоги формул для двойных на прямоугольнике и тройных в параллелепипеде интегралов с сохранением такого же порядка погрешности, что и в одномерном случае. Построены линейные отображения обобщённых координат с кольца (круга) на прямоугольник, с шарового слоя (шара) на параллелепипед. Найдены интегральные квадратуры в полярной и в сферической системах координат с сохранением алгебраического порядка точности, что проверено численно. Доказана лемма, указывающая минимальное число узлов достаточное для вычисления интеграла с двойной точностью. Приведены соответствующие алгоритмы. : Abstract: Formulas and algorithms are obtained for composite integral quadratures with a uniform step of the 7th, 11th, 15th algebraic order of error and with 8,12,16 order of error, respectively, in internal problems of mathematical physics. analogues of formulas are found for doubles on a rectangle and triplets in a parallelepiped, while maintaining the same error order as in the one-dimensional case. Linear maps of generalized coordinates are constructed from a ring (circle) to a rectangle, from a spherical layer (ball) to a box. found integral quadratures in polar and in spherical coordinate systems with the preservation of the algebraic order of accuracy, which is verified numerically. A lemma is proved indicating the minimum number of nodes sufficient to calculate the double-precision integral. Corresponding algorithms are given .	ru_RU
dc.language.iso	ru	ru_RU
dc.subject	Ключевые слова: алгебраический порядок точности, порядок погрешности, метод медианной фильтрации, шаровой слой, кольцо, аппроксимация интегралов.	ru_RU
dc.title	Аппроксимация двойных и тройных интегралов в математической физике	ru_RU
dc.type	Article	ru_RU
dc.identifier.udc	519.6	-
Appears in Collections:	Дубли, препринты

Files in This Item:

File	Description	Size	Format
Аппроксимация двойных и тройных интегралов в математической физике(Пастуховы).pdf		638.58 kB	Adobe PDF	View/Open

Show simple item record Recommend this item Google Scholar