О некоторых аналитических свойствах аналога третьего и пятого уравнений Пенлеве в симметрической форме

Abstract

Изучается система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть рассмотрена как аналог третьего и пятого уравнений Пенлеве в симметрической форме более высокого порядка. Рассмотрены различные формы записи этой системы и приведены соответствующие им преобразования Бэклунда. Для данной системы указаны случаи значений параметров, в которых удается найти общее решение или некоторые первые интегралы. Найдены стационарные решения и условия их существования. Показано, что решения аналогов пятого уравнения Пенлеве в окрестности нуля и бесконечности могут иметь полюса любого порядка, а решения аналогов модифицированного пятого уравнения Пенлеве не могут иметь полюсов порядка выше первого. Изучена структура рациональных решений и найдены необходимые и достаточные условия их существования.