Please use this identifier to cite or link to this item: http://elib.psu.by:8080/handle/123456789/24170
Title: Векторный аналог метода прогонки для решения трех- и пяти диагональных матричных уравнений
Other Titles: Vector analogue of the sweep method for solving three- and five diagonal matrix equations
Authors: Волосова, Н. К.
Волосов, К. А.
Волосова, А. К.
Пастухов, Д. Ф.
Пастухов, Ю. Ф.
Keywords: векторный аналог метода прогонки, трех - и пятидиагональные матрицы, матрица Теплица, выпуклые множества, параллельные вычисления.:vector analogue of the sweep method, three- and five-diagonal matrices, Toeplitz matrix, convex sets, parallel computations .
Численные методы алгебры
eLIBRARY ID: 41598637
Issue Date: 1-Sep-2019
Publisher: МГТУ им. Баумана, МИИТ, Полоцкий государственный университет
Citation: Волосова Н. К., Волосов К. А., Волосова А. К., Пастухов Д. Ф., Пастухов Ю. Ф. Векторный аналог метода прогонки для решения трех- и пятидиагональных матричных уравнений//Н. К. Волосова, К. А. Волосов, А. К. Волосова, Д. Ф. Пастухов, Ю. Ф. Пастухов//Научная статья. Численные методы. Матричные вычисления, - Новополоцк: МГТУ им. Н. Э. Баумана, МИИТ, ПГУ. 2019.15 с.
Abstract: Предложен алгоритм векторного аналога прогонки для решения произвольных матричных уравнений с квадратными трех- и пятидиагональными матрицами за конечное число арифметических вычислений. Доказаны достаточные условия корректности векторных формул прогонки для произвольных трех- диагональных матриц (теорема 1) и достаточные условия для пятидиагональных матриц Теплица (теорема 2). Приведенные программа и два примера показывают, что данные алгоритмы являются точными. Предложен численный алгоритм для предельных значений коэффициентов прогонки вперед (теорема 3), показано, что полученные численные предельные значения не противоречат теореме 2. :An algorithm for a vector analog of sweep is proposed for solving arbitrary matrix equations with square three- and five-diagonal matrices for a finite number of arithmetic calculations. Sufficient conditions for the correctness of vector sweep formulas for arbitrary three- diagonal matrices (Theorem 1) and sufficient conditions for five-diagonal Toeplitz matrices (Theorem 2). The above program and two examples show that these algorithms are accurate. A numerical algorithm is proposed for the limiting values ​​of forward sweep coefficients (Theorem 3), it is shown that the obtained numerical limit values ​​do not contradict Theorem 2.
Description: Введение. Матрицы и матричные уравнения специального типа применяются во многих разделах прикладной математики. В квантовой механике динамика частиц со спином определяется матрицами кватернионов (полукватернионов)[1,2]. Другой пример, одним из методов решения эллиптических уравнений математической физики численными методами является метод прогонки[3,4,5,12,13]. Здесь используются матрицы диагонального вида. Алгебраический метод прогонки, используемый построчно на прямоугольной сетке совместно с формулой простой итерации[5] является приближенным методом, так как число итераций не ограничено, но имея формулы с аппроксимацией дифференциальных операторов с высоким порядком погрешности можно значительно снизить число и время вычислений[5]. В данной работе рассмотрен векторный аналог метода прогонки для решения матричных уравнений с квадратными матрицами трех- и пятидиагонального типа за конечное число арифметических действий. Если диагональная матрица, соответствующая разностным уравнениям прогонки имеет постоянные коэффициенты на главной диагонали и на двух (четырёх) диагоналях параллельным главной, то матрица коэффициентов называется матрицей Теплица. В данной работе доказаны необходимые условия корректности формул прогонки для произвольных трехдиагональных матриц и для пятидиагональных симметрических матриц Теплица, решаемых векторным аналогом метода прогонки. Сегодня необходимо рассматривать также численные задачи с параллельными вычислениями[3,4,7,8,11]. Поэтому для решения пятидиагональных матричных уравнений в работе рассмотрены два алгоритма последовательного и параллельного вычисления. :Introduction. Matrices and matrix equations of a special type are used in many sections. applied mathematics. In quantum mechanics, the dynamics of particles with a spin is determined by matrices quaternions (semi-quaternions) [1,2]. Another example, one of the methods for solving elliptic equations of mathematical physics by numerical methods is the sweep method [3,4,5,12,13]. Here matrices of diagonal form are used. The algebraic sweep method used line by line on a rectangular grid together with the simple iteration formula [5] is an approximate method, since the number of iterations is not limited, but having formulas with approximation of differential operators with a high order of error can significantly reduce the number and time of calculations [5]. In that work A vector analog of the sweep method for solving matrix equations with square matrices of three- and five-diagonal type for a finite number of arithmetic operations. If diagonal the matrix corresponding to the difference equations of sweep has constant coefficients on the main diagonals and on two (four) diagonals parallel to the main one, the coefficient matrix is ​​called Greenhouse matrix. In this paper, the necessary conditions for the correctness of the sweep formulas for arbitrary three-diagonal matrices and for five-diagonal symmetric Toeplitz matrices, solved by a vector analogue of the sweep method. Today it is also necessary to consider numerical problems with parallel computing [3,4,7,8,11]. Therefore, to solve the five-diagonal matrix equations, two algorithms for sequential and parallel calculation are considered
URI: http://elib.psu.by:8080/handle/123456789/24170
Appears in Collections:Уравнения математической физики (1-98 01 01) 3к5с



Items in DSpace are protected by copyright, with all rights reserved, unless otherwise indicated.